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阿列夫零_百度百科

_百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心阿列夫零播报讨论上传视频数学名词收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。在集合论这一数学分支里，阿列夫数，又称艾礼富数，阿列夫数是一连串超穷基数。其标记符号为 ℵ （由希伯来字母 ‎א‎ ‎演变而来）加角标表示可数集（包括自然数）的势标记为ℵ₀ ，下一个较大的势为ℵ₁ ，再下一个是ℵ2，以此类推。一直继续下来，便可以对任一序数 α 定义一个基数。中文名阿列夫零外文名Aleph-null别    名艾礼富数表达式ℵ提出者格奥尔格·康托尔适用领域基数应用学科数学类    型数学名词目录1定义2构造性定义3阿列夫14如何理解阿列夫零定义播报编辑这一概念来自于格奥尔格·康托尔，他定义了势，并认识到无限集合是可以有不同的势的。阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限(∞) 不同。阿列夫(aleph)，是希伯来文字母表的第一个字母。阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限(∞) 不同。阿列夫数用来衡量集合的大小，而无限只是定义成实数线上的最大的极限或扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数，而无限只是无限而已。构造性定义播报编辑阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”，也没有证明是否存在“下一个较大的势”。即便承认对任意的基数都存在更大的基数，是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。下面的构造型定义解决这个问题：ℵ0定义从前，它是一个良序集ℕ的序数；考虑良序集按照某种同构关系划出的等价类；如上定义的等价类有一个特点：可比较，设ℵa已定义且是一良序集的基数，考虑：1.由于ℵa是某良序集的基数，这个良序集必存在于某个等价类中；一定还有其他基数为ℵa的良序集，这些良序集必将也存在于某个等价类中（可能与上面的同属同一个等价类，但不一定）。所有这些等价类将做成一集，记为Z(ℵa)。2.Z(ℵa)也是良序集。3.定义ℵa+1:= card(Z(ℵa))，它是一个良序集的基数 [1]。阿列夫1播报编辑ℵ1是所有可数序数集合的势，称为ω1或有时为Ω。这个ω1本身是一个比所有可数序数更大的序数，因此它为一个不可数集。如何理解阿列夫零播报编辑在了解阿列夫零前，先看一个关于无穷大悖论的故事基塔：““无穷饭店”是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间，这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。房间号从1开始，无限制地排下去。 一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一位飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。 尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。 第二天又来了五对夫妇渡蜜月。无穷饭店能不能接待他们，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇 。周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。 ”赫尔曼：“我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？ ”基塔：“很容易，我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。 ”赫尔曼：“对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！”关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！德国数学家乔治·康托发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系。对于无穷集这—点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治·康托称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一一对应，并余下一个元素，或者五个元素。显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。还有一个办法可以使这一减法形象化，想象有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，把两棍棒的零端对齐放在桌子中心。两根棒都刻了线，按厘米计数。两根棒在右端延伸到无穷远，所有数都一一对应：0—0、1—1、2—2等等。想象把一根棒向右移动n厘米。移动以后，那棍棒上的所有数仍与不动的棒上的数一一对应。如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0—3、1—4、2—5、……。移动的n厘米代表两棍棒长之差。不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每一个数与每一个偶数一一对应，则余下的是一个由全部奇数所构成的阿列夫零集。由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康托称之为阿列夫1。康托的辉煌成就之一就是著名的“对角论证法”，它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫0的元素构成一一对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康托证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。阿列夫1又称为“连续统的势” [2]。阿列夫2是一切可能的数学函数——连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样，如果我们所指的曲线是在一张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一个无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。康托还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一一对应。因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？康托确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致的。1963年，保罗·科恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论矛盾。简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。科恩的研究结果是：集合论分为康托型和非康托型的。康托型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康托型集合论是假定有无限多个中介数。情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。希望学习更多关于这些神秘的超限数知识的学生可以阅读爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼著的《数学与想象力》第二章“古格尔之后”和《科学美国人》1966年三月号数学游戏部分 [2]。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000

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百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心收藏查看我的收藏0有用+10א播报讨论上传视频希伯来文字母א（Aleph）是希伯来文字母表中的第一个字母，神秘哲学家们认为它意为“要学会说真话”。 [1]中文名א外文名Aleph地    位希伯来语系中首个字母字母介绍א在犹太神秘哲学（卡巴拉）中，这个字母指无限的、纯真的神明；据说它的形状是一个指天指地的人，说明下面的世界是一面镜子，是上面世界的地图；在集合论理论中，它是超穷数字的象征，在超穷数字中，总和并不大于它的组成部分。 [1]可以指：·希伯来字母，希伯来语系中首个字母。·阿列夫数，是一连串用来表示无限集合的势(大小)的数。·奥姆真理教，现以改名为“Aleph”(アレフ)，是日本一个新兴宗教教团，也是日本代表性的邪教团体。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000 are not allowed to access this resour

aleph | "aleph" 的词源、"aleph" 的起源和意思 - etymonline

h | "aleph" 的词源、"aleph" 的起源和意思 - etymonline搜索Quick search commandColumnsForumAppsPremium登录登录广告aleph(n.)这个希伯来文和腓尼基文的第一个字母的名称，为 A 的前身，大约在公元前1300年，来自闪族语言，是 eleph（“牛”的停顿形式）; 这个字符可能起源于一个牛头的象形字符。参见 alphabet。同样来自于:c. 1300 相关词汇 alepha(1)不定冠词，12世纪中期使用在辅音前的形式为 an，是古英语 an “一个”的弱化形式（参见 an）。在14世纪中期之前， -n- 在辅音前的消失几乎是完全的。1600年左右，在发音为 -h- 的词语前， -n- 也开始消失； 在 h- 或 (e)u- 的非重音音节前，许多作家仍然保留它，但现在通常不再这样发音。在15世纪， -n- 在少数复数名词前（尤其是在南英格兰方言中）仍然存在，如 -w- 和 -y-。在一些单数名词和少数复数名词前，当插入 few 或 great many 时，也会使用不定冠词。alphabet(n.)“按惯例排列的一种语言文字”于1570年代出现，源自于晚期拉丁语 alphabetum（特尔图良）, 来自希腊语 alphabetos，由 alpha 和 beta 组成。它也在15世纪早期被用于“通过阅读获得的学识或知识”。一些早期英语用于此的词汇包括 stæfræw，字面意思是“一列字母”， stæfrof，意为“一组字母”，并可与 ABC 相对比。It was a wise though a lazy cleric whom Luther mentions in his "Table Talk,"—the monk who, instead of reciting his breviary, used to run over the alphabet and then say, "O my God, take this alphabet, and put it together how you will." [William S. Walsh, "Handy-Book of Literary Curiosities," 1892]在他(Luther)的“桌上谈话”中，他提到了一位明智而懒惰的牧师——这位修士不是念诵他的经书，而是浏览了一遍字母表，然后说：“啊，我的上帝，请你把这个字母表重新组合吧。” [威廉·S·沃尔什，《文学琐事手册》，1892年]Alphabet soup 在1907年有记录。alpha(n.)大约1300年，源自拉丁语 alpha，来自希腊语 alpha，源自希伯来语或腓尼基语 aleph（见 aleph）。希腊人加上了 -a，因为希腊语单词不能以大多数辅音结尾。任何事物的“开始”意义始于14世纪晚期，在这方面它经常与 omega（希腊字母表中的最后一个字母，代表“结束”）配对。 “序列中的第一个”意义始于1620年代。在天文学中，每个星座中最亮的恒星的指定（使用希腊字母命名恒星始于1603年的拜耳星图）。Alpha male 在20世纪60年代被用于研究动物的科学家中； 在社会中应用于人类始于1992年左右。广告aleph 的使用趋势广告仅供参考，由机器翻译系统提供。查看原文，请访问：Etymology, origin and meaning of aleph广告在 aleph 附近的词典条目alectryomancyaleealehouseAlemannialembicalephalertalertlyalertnessAletheaAleut链接论坛参考文献链接产品iOS 应用安卓应用Chrome 扩展关于网站作者网站简介在 Facebook 关注我们支持通过 PayPal 捐赠Patreon 订阅支持购买周边简体中文 (Chinese)深色自动浅色服务协议隐私政策Copyright © 2001 - 2023 Douglas Har

阿列夫（特定符号）_百度百科

特定符号）_百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心阿列夫是一个多义词，请在下列义项上选择浏览（共2个义项）添加义项收藏查看我的收藏0有用+10阿列夫播报讨论上传视频特定符号本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。阿列夫(aleph) 是集合论的一个特定符号，表示无穷基数的一个希伯来文字母א，读为阿列夫(aleph)。习惯上习惯把阿列夫作为无穷基数的代名词。中文名阿列夫 外文名aleph所属学科数学目录1性质2应用性质播报编辑习惯上习惯把阿列夫作为无穷基数的代名词， 可以看成一个定义域为序数列 ord，陪域为无穷基数类的双射类函数： 满足下列条件：1、 是自然数集的基数；2、对任何3、若β 是极限基数，则 其中，α+ 是α 的后继序数， 是 的后记基数。应用播报编辑类函数确定了无穷基数的正则序列，每一个无穷基数必恰是某一个 ， 是后继基数的充分必要是 α 是后继序数；是极限基数的充分必要条件是 α 是极限序数。当人们把看成基数为的所有序数中之最小者时，就是一个序数。它的型用 ωα 表示。因此， 在序列中的位置，该型序列时序数序列的子序列。 [1]新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000

希伯来字母-Aleph - 知乎

希伯来字母-Aleph - 知乎首发于向下扎根切换模式写文章登录/注册希伯来字母-Aleph橄榄树上结果果向下扎根，向上结果。分享个人学习成长。公众号同名。Have you considered how the Hebrew letters reveal truths about God? For example, the Hebrew letter Aleph (א) is the "father" or "king" of the Aleph-Bet, whose original pictograph represents an ox, strength, and leader. Aleph is the first letter of the first word of the first commandment of God: anokhi (אָנכִי): "I AM" (Exod. 20:2), which also designates the Name ehyeh(אֶהְיֶה) first revealed to Moses (Exod. 3:14). The numerical value of Aleph is one, indicating its preeminence, and it is a silent letter, alluding to the ineffable mystery of God's sovereign will. Indeed, the related word aluph (אַלּוּף) means "Master" or "Champion." In the Hebrew script used for writing Torah scrolls (ketav Ashurit), Aleph is constructed from two Yods (that represent "hands") joined by a diagonal Vav (that represents man). One Yod (י) reaches upward while the other reaches downward, and both extend from the "fallen" Vav (ו), picturing a "wounded Man" or Mediator (1 Tim. 2:5). In the Hebrew numbering system, Yod = 10 and Vav = 6, so adding up the three parts of Aleph yields 26, the same value as the Name of the LORD: YHVH (יהוה). The very first letter of the Hebrew Alphabet, then, pictures the three-in-one LORD who mediates all of life for our salvation. And just as there are three parts to Aleph, but Aleph is One (echad), so there are three Persons to the Godhead, yet God is absolutely One. Indeed, the gematria of the word Aleph (אָלֶף) is 111 (Aleph=1, Lamed=30, and Pey=80). Every "jot and tittle" is significant... 你有没有想过希伯来字母是如何揭示上帝的真理的？例如，希伯来语字母Aleph（א）是字母表的“父亲”或“国王”，其原始象形文字代表公牛、力量和领袖。Aleph是上帝诫命第一条的第一个字母：anokhi：“我是”（出埃及记20：2）。同时，他也是了上主说摩西说自有永有的第一个字母（אֶהְיֶ）（出埃及记3： 14）。Aleph的数值是1，表明它的卓越性，它是一个“静音字母”，暗指上帝主权意志的不可言喻的奥秘。事实上，相关的单词aluph的意思是“主”或“冠军”。在希伯来语中用来写托拉经卷的（ketav Ashurit），Aleph是由两个Yods（代表“手”）和一个对角线的Vav（代表人）构成的。一个Yod（י）向上伸展，另一个向下伸展，两个都从“向下”的Vav（ו）延伸，描绘出一个“受伤的人”或中保（提摩太前书2： 5）。在希伯来语的数值系统中，Yod=10，Vav=6，所以把Aleph的三个部分加起来得到26，与上主的名字YHVH（יההה）相同。希伯来字母表的第一个字母，描绘了三合一的主，他为我们所有的生命做了中保。正如Aleph有三个部分，但Aleph是一（合一），所以上主有三个位格，但上主是绝对一个。实际上，Aleph（אָלֶף ）一词的希伯来发音是111（Aleph=1，Lamed=30，Pey=80）。每一个“一点一划”都是有意义的。。。重点词汇indicate 表明 ; 显示 ; 象征 ; 暗示 ; 间接提及 ; 示意 ;allude 间接提到 ; 暗指 ; 影射 ;ineffable 难以形容的，不可言喻的sovereign 君主 ; 元首 ; 金镑 ; 有主权的 ; 完全独立的 ; 掌握全部权力的 ; 有至高无上的权力的Champion 冠军 ; 第一名 ; 优胜者 ; 斗争者 ; 捍卫者 ; 声援者 ; 拥护者 ; 为…而斗争 ; 捍卫 ; 声援发布于 2020-10-19 22:14英语翻译冠军（Champion）英语​赞同 2​​添加评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录向下扎根生命的学习

aleph是什么意思？ - 知乎

aleph是什么意思？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答​切换模式登录/注册数学aleph是什么意思？[图片] 第一个字母。显示全部 ​关注者6被浏览9,374关注问题​写回答​邀请回答​好问题​3 条评论​分享​4 个回答默认排序TairanoKaeru原签名已被知乎删除​ 关注我寻思着，jointer大仙的信息检索能力实在是太差了。当然了，我查到的东西都是全世界误科编的，考古学家发现的各种材料都是假的，大仙不用理会我。怹还以为腓尼基字母是这套东西的最早形态呢。（何新和流波这些玩意真是流毒无穷。）怹真是【和谐】得可爱。以上文字如果在设备里显示不出来，神秘代码：U+122AD；U+12049。编辑于 2019-08-09 21:15​赞同 9​​11 条评论​分享​收藏​喜欢收起​khalid啧啧啧，小透明​ 关注j大湿aleph是牛的意思发布于 2019-08-08 23:10​赞同 3​​添加评论​分享​收藏​喜欢收起​​写回答1 个回答被折叠（为什

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液位传感器(8)液位传感器主要用于制造业和汽车工业，也可以在许多家用电器中找到，如冰箱中的制冰机，洗衣机需要防止液位过高到时水过多溢出，热水器需要检测到内部水箱的液位过低时候自动补水，马桶需要水箱中保持有水等。

流量传感器(3)各种机械的热循环冷却水管理，小规模程序里的各种流量管理，热水器，温水器里的流量检测。

靶流开关(4)在冷水机组和空调工程的水系统中应用广泛, 它能保证空调系统安全、高效地运行。当水流量变化时, 水流对靶片产生的作用力使得杠杆转动, 控制电路闭合或断开, 从而达到自动控制的目的。

更多产品

透过型(22)打印机/复印机/OA机器

自动售货机/售票机

检测各种位置

反射型(2)• 非接触式反射物体传感器

• 装配线自动化

• 机器自动化

• 机器安全

• 行程结束传感器

• 门传感器

• 标记检测

• 办公设备

• 游戏设备

• 各类电子锁感应；

• 安防、门禁感应；

• 各类工控感应开关

• 感应洁具、卫浴；

• 感应玩具；

• 小夜灯、橱柜、洗手液等消费类智能感应产品；

分离型(3)金融机器

打印机

​自动售货机、售票机

回归反射型(5)打印机/复印机/OA机器

自动售货机/售票机

检测各种位置

塑胶弓形型(3)复印机/打印机

各种通过检测

浊度型(1)浊度传感器是一种专门用于家电产品洗衣机、洗碗机、浑浊度量测的低成本传感器，采用透射光比值测量浊度，传感器的准确度、可靠性提高，维护更加简单，抗污性增强。主要用于洗衣机、洗碗机等产品的水污浊程度的测量，通过把水的污浊度转换为0~5V的模拟电压输出来表示所洗物品洁净程度，从而实现智能洗涤。

流量型(1)可用于滤芯管理器、直饮机、净水器、咖啡机、饮水机、仪器设备、智能马桶

液位型(1)饮水机/热水器/加湿器/咖啡机/医疗设备/需要检测液体的电器

更多产品

底盘系统用(3)车身高度传感器用于悬架、主动底盘控制或前照灯调平应用程序，目的是将车轮相对于底盘的位置转换成一个电气输出信号，供控制器使用。

热管理系统用(2)用来监测新能源汽车动力电池冷却系统内冷却液的液位高度，当冷却液低于最低高度时，及时报警，提醒司机及时加注冷却液，确保动力电池及车辆的正常运行。

制动系统用(6)用于汽车刹车油壶及水壶，检测液位

传动系统用(8)用Hall IC和磁铁来检测驻车锁位置，变速杆P/R/N/D/L的位置， Hall IC固定在传感器上，磁铁部分随着变速杆P/R/N/D/L的传动装置转动，转动不同的角度会对应IC有不同的SENT输出。

汽车内饰(1)当汽车安全锁扣的锁舌没有插入时，开关闭合，可以接通安全带报警灯；并且给控制单元一个信号，当汽车车速达一定值时，进行灯光和语音报警，提醒驾乘人员系上安全带。

更多产品

电路板打印机、复印机等办公设备上使用的电路板以及探测器类产品上使用的电路板

Photo sensor类电路板打印机、复印机上用光感类电路板

柔性线路板多媒体、数码产品上使用，如数码相机、DV摄像机、投影仪、播放器等产品上使用

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多路超声液体检测仪(1)通过探测水、可乐和糖浆等多种液体管路中有无空气判断管路中液体状态。

温度传感器(1)应用在医疗、汽车电子、汽车充电桩、工业4.0、智能家电等领域。

压力传感器(2)咖啡机的萃取过程需要进行压力数值监测，精确监测高压腔压力，保障蒸汽成功萃取咖啡。

PID气体传感器(1)用于化工业和石化工业停工过程中的清罐测量，也可以监测竖井和密闭空间中的作业，还可以检测泄漏以及用于许多其他应用。光离子化检测仪（PID）传感器可有效检测 ppm 和 ppb 范围内的挥发性有机物。

红外感应数字传感器(1)• 非接触式反射物体传感器

• 机器自动化、机器安全

• 限位传感器

• 标记检测

• 办公设备

• 游戏设备、感应玩具

• 各类智能锁感应；

• 安防、门禁感应；

• 工控感应开关；

• 感应洁具、卫浴、橱柜、洗手液消费类智能感应产品；

• 智能灯具；

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关于艾礼富

艾礼富电子，肇始于1936年成立的日本生野设备制作所，1968年开始生产干簧管，目前是全球第三大的干簧管制造商，具备干簧管接近传感器、干簧管液位传感器、光控传感器以及刹车油壶&液位传感器模组的全产业链制造能力。2016年被上市集团全资收购之后，继续深耕以干簧管为核心元气件的传感器领域，成功推出了多液位检测的尿素传感器；同时积极拓展以霍尔芯片为核心元器件的传感器产品，先后推出了变速箱用速度传感器、位置传感器、角度传感器、温速二合一传感，以及车身高度传感器和安全带扣传感产品。在汽车电子、工业4.0、智能家居、金融设备、智慧医疗等领域，赢得客户的一致好评。

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核心优势

1936年

公司始创于

3rd

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5家

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Aleph

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$ \aleph $

The first letter of the Hebrew alphabet. As symbols, alephs were introduced by G. Cantor to denote the cardinal numbers (i.e., the cardinality) of infinite well-ordered sets. Each cardinal number is some aleph (a consequence of the axiom of choice). However, many theorems about alephs are demonstrated without recourse to the axiom of choice. For each ordinal number $ \alpha $, by $ \aleph_{\alpha} = w(\omega_{\alpha}) $ one denotes the cardinality of the set of all ordinal numbers smaller than $ \omega_{\alpha} $. In particular, $ \aleph_{0} $ is the cardinality of the set of all natural numbers, $ \aleph_{1} $ is the cardinality of the set of all countable ordinal numbers, etc. If $ \alpha < \beta $, then $ \aleph_{\alpha} < \aleph_{\beta} $. The cardinal number $ \aleph_{\alpha + 1} $ is the smallest cardinal number that follows $ \aleph_{\alpha} $. The generalized continuum hypothesis ($ \mathsf{GCH} $) states that $ 2^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\alpha + 1} $ for each ordinal number $ \alpha $. When $ \alpha = 0 $, this equation assumes the form $ 2^{\aleph_{0}} = \aleph_{1} $, which is known as the continuum hypothesis ($ \mathsf{CH} $). The set of all alephs smaller than $ \aleph_{\alpha} $ is totally ordered according to magnitude, and its order type is $ \alpha $. The definitions of the sum, the product and a power of alephs are obvious. One has

$$

\aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\beta} = \aleph_{\max(\alpha,\beta)}.

$$

The following formulas are most frequently encountered.

The recursive Hausdorff formula: $$ \aleph_{\alpha + n}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} \cdot \aleph_{\alpha + n}, $$ a particular case of which, for $ \alpha = 0 $, is the Bernshtein formula: $$ \aleph_{n}^{\aleph_{\beta}} = 2^{\aleph_{\beta}} \cdot \aleph_{n}. $$

The recursive formula of Tarski: If an ordinal number $ \alpha $ is a limit ordinal, and if $ \beta < \mathsf{cf}(\alpha) $, then $$ \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \sum_{\xi < \alpha} \aleph_{\xi}^{\aleph_{\beta}}. $$ Here, $ \mathsf{cf}(\alpha) $ denotes the cofinality of the ordinal number $ \alpha $. As in the case of cardinal numbers, one distinguishes between singular alephs, regular alephs, limit alephs, weakly inaccessible alephs, strongly inaccessible alephs, etc. For example, $ \aleph_{\alpha} $ is singular if $ \alpha $ is a limit ordinal and $ \mathsf{cf}(\alpha) < \alpha $.

There is no largest aleph among all alephs. It was shown by Cantor that the set of all alephs is meaningless, i.e., there is no such set. See also Totally well-ordered set; Continuum hypothesis; Set theory; Ordinal number; Cardinal number.

References

[1]

P.S. Aleksandrov, “Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktionen”, Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1956). (Translated from Russian)

[2]

F. Hausdorff, “Grundzüge der Mengenlehre”, Leipzig (1914). (Reprinted (incomplete) English translation: Set theory, Chelsea (1978))

[3]

P.J. Cohen, “Set theory and the continuum hypothesis”, Benjamin (1966).

[4]

K. Kuratowski, A. Mostowski, “Set theory”, North-Holland (1968).

Comments

A more recent theorem on the exponentiation of alephs was proved by J. Silver in 1974 (cf. [a2]). A particular case says that if

$$

2^{\aleph_{\xi}} = \aleph_{\xi + 1} \quad \text{for all} \quad \xi < \omega_{1},

$$

then

$$

2^{\aleph_{\omega_{1}}} = \aleph_{\omega_{1} + 1}.

$$

A reasonable up-to-date additional reference for this topic is [a1].

References

[a1]

A. Levy, “Basic set theory”, Springer (1979).

[a2]

J. Silver, “On the singular cardinals problem”, R. James (ed.), Proc. Internat. Congress Mathematicians (Vancouver, 1974), 1, Canad. Math. Congress (1975), pp. 265–268.

How to Cite This Entry: Aleph. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Aleph&oldid=51158This article was adapted from an original article by B.A. Efimov (originator), which appeared in Encyclopedia of Mathematics - ISBN 1402006098. See original article

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This page was last edited on 2 January 2021, at 09:05.

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