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2024-03-07 19:58:48

莫比乌斯带_百度百科

带_百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心莫比乌斯带播报讨论上传视频数学术语收藏查看我的收藏0有用+10本词条由中国科学院数学与系统科学研究院参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证。莫比乌斯(Mobius)带是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁于1858年发现。就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。中文名莫比乌斯指环外文名Möbius strip / Möbius band别名梅比斯环 / 麦比乌斯带结构拓扑学结构目录1发现命名2制作方法3拓展4和几何学关系5拓扑变换发现命名播报编辑公元1858年，两名德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁发现，一个扭转180度后再两头粘接起来的纸条，与普通纸带具有两个面(双侧曲面)不同，这样的纸带只有一个面(单侧曲面)，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！这一神奇的单面纸带被称为“莫比乌斯带”(Möbius strip) 。 [1]作为一种典型的拓扑图形，莫比乌斯带引起了许多科学家的研究兴趣，并在生活和生产中有了一些应用。例如，用皮带传送的动力机械的皮带、打印机上的色带,做成“ 莫比乌斯带” 状,这样增大了磨损面积,寿命也就延长了。 [2]2003年12月28日《科技日报》报道德国科学家成功合成了稳定的“莫比乌斯”芳香族化合物 [3]；而此后对“莫比乌斯”芳香族化合物的研究越来越向纵深发展。据发表在《自然·合成》杂志上的论文，2022年5月20日，日本名古屋大学等组成的研究团队在英国科学杂志上发布成果称，在世界首次合成了一种带状分子纳米碳，具有扭曲的莫比乌斯带拓扑结构，即莫比乌斯碳纳米带。 [4] 莫比乌斯带不但应用于自然科学领域。同时也为诸多的文学家提供了素材，构思了许多品位极佳的科幻作品。 [5]制作方法播报编辑拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭转180°，再把两端连上，就成为一个莫比乌斯带。莫比乌斯圈我们把一个莫比乌斯环沿中线剪开，曲面并不被分成两部分，而是成为一个双侧曲面，它可以由一个矩形纸条扭转360°， [6]再将对边粘合而成。将莫比乌斯纸环沿着三等分线剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环，大环周长是原莫比乌斯环的两倍，小环周长与原莫比乌斯环相同。如果我们进一步实验，将莫比乌斯环沿4等分线剪开，我们会发现下面的现象：居然剪出了两个互相链接的纸环，展开2个纸环并拉直，可以看出2个纸环是一样长的。将莫比乌斯环沿5等分线剪开，则可以剪出3个互相链接的纸环，展开3个纸环并拉直，可以看出其中2个环一样长，另一个环长度是其他两环的一半。将莫比乌斯环沿6等分线剪开，可以剪出3个互相链接的纸环，展开3个环可以看到，3个环一样长。新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了，得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。相反，拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，把其中一端360度翻一个身，粘成一个双侧曲面。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出两个环套环的双侧曲面。莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。比如在普通空间无法实现的"手套易位"问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套完全贴合于右手；也不能把右手的手套完全贴合于左手。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套。不过，倘若把类似的想法运用到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。拓展播报编辑制作过程中把纸带一端旋转180度可以，旋转540度、900度……都符合莫比乌斯带的定义。（在省略号中的数为180的奇数倍均可以）和几何学关系播报编辑可以用参数方程式创造出立体莫比乌斯带：这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0），参数u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。从拓扑学来讲，莫比乌斯带可以定义为矩形[0,1]×[0,1]，边由在0≤x≤1的时候按（x,0）（1-x,1）的方式进行粘合得到。莫比乌斯带是一个二维的紧致流形（即一个有边界的面），可以嵌入到三维或更高维的流形中。它是一个不可定向的的标准范例，可以看作2维实射影平面去掉一个圆盘。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地，它是一个以单位区间I= [0,1]为纤维，圆S上的非平凡丛。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S上一个非平凡的两个点（或）的丛。莫比乌斯带的参数方程拓扑变换播报编辑莫比乌斯带是一种拓扑图形，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8，因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8。 [4]新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

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默比乌斯变换_百度百科

变换_百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心收藏查看我的收藏0有用+10默比乌斯变换播报讨论上传视频数理科学术语本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。默比乌斯变换(Mobius transformation)，也称莫比乌斯变换，是数论中的一种重要变换。默比乌斯变换是以数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯命名的，它也被叫做homographic transformations 或 fractional linear transformations。每个莫比乌斯变换都是从黎曼球面到它自身的一一对应的共形变换。中文名默比乌斯变换外文名Mobius transformation;homographic transformations所属领域数理科学别名默氏变换人物奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯目录1简介▪复平面中的默比乌斯变换▪数论中的默比乌斯变换2定义3分解4性质▪保角性与保圆性▪复比不变性▪确定默比乌斯变换5矩阵表示简介播报编辑复平面中的默比乌斯变换公元1858年，德国数学家默比乌斯(Mobius，1790~1868)发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。因为，普通纸带具有两个面(即双侧曲面)，一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面)，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘!这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为"莫比乌斯带"。明尼苏达大学的研究人员道格拉斯·阿诺德和乔纳珊·罗格尼斯制作的录像对"莫比乌斯变换"这一深奥而有趣的现象进行了深入浅出的描述。莫比乌斯变换是定义在扩充复平面上的（扩充复平面是指在普通的复平面加入无穷远点构成的集合）扩充复平面可以看做是一个球面，它的另一个名称就是黎曼球面。每个莫比乌斯变换都是从黎曼球面到它自身的一一对应的共形变换。事实上，所有这样的变换都是莫比乌斯变换 [1]。所有莫比乌斯变换的集合在函数复合作用下构成一个群，称为“莫比乌斯群”，记作。这个群是黎曼球面（作为一个黎曼曲面）的自同构群，因此有时也被记作：莫比乌斯群同构于三维双曲空间中的保向等距同构群，因此在三维双曲空间中的子流形的研究中占有重要地位。数论中的默比乌斯变换对于给定的数论函数，定义新的数论函数：称为的默比乌斯变换，而为的默比乌斯逆变换。定义播报编辑在几何学里，默比乌斯变换是一类从黎曼球面映射到自身的函数。用扩展复平面上的复数表示的话，其形式为 [2]：其中z,a,b,c,d为满足ad−bc≠0的（扩展）复数。(当ad=bc的时候这个表达式退化成一个常数，通常约定常数函数不是默比乌斯变换）。当c≠0时，定义这样便将默比乌斯变换扩展到整个黎曼球面上。如果c=0，那么定义这样定义后，默比乌斯变换就成为了黎曼球面上的一个一一对应的全纯函数。由于对默比乌斯变换的每一个系数乘上一个相同的系数后不会改变这个变换：所以也有的定义中将ad−bc≠0的条件改成ad−bc=1。这样的定义下得到的默比乌斯变换可以说是“约简后”的默比乌斯变换。默比乌斯变换也可以被分解为以下几个变换：把平面射影到球面上，把球体进行旋转、位移等任何变换，然后把它射影回平面上。默比乌斯变换是以数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯的名字命名的，它也被叫做单应变换（homographic transformation）或分式线性变换（linear fractional transformation）。分解播报编辑默比乌斯变换的实质与反演密切相关。实际上，一个形如的默比乌斯变换可以分解成四个变换 [3]：1) （按d/c做平移变换）；2) （关于单位圆做反演变换然后关于实数轴做镜面反射）；3) 做关于原点的位似变换然后做旋转）；4)（按a/c做平移变换）。这四个变换的复合就是默比乌斯变换：在这种分解之下，可以清楚地看出默比乌斯变换的不少基本性质。首先，由于以上分解中的每个变换都是可逆的（它们的逆变换也十分清楚），因此可以容易地看出，默比乌斯变换的逆变换也是一个默比乌斯变换，而且其表达式可以具体计算。具体来说，设变换函数，其中每一个都是相应的的逆变换（反函数），那么默比乌斯变换f的逆变换就是：。性质播报编辑保角性与保圆性由于默比乌斯变换可以分解为平移、反演、位似与旋转变换，因此能够保持所有反演变换的性质。一个基本的例子是保角性：由于平移、反演、位似与旋转变换都保持角度不变，因此两个复数（或向量）之间的幅角差（夹角）在经过莫比乌斯变换后不变。此外，一个广义圆经过默比乌斯变换后，仍会映射到一个广义圆。广义圆是指黎曼球面上的圆，包括普通的圆形和带无穷远点的直线（可以认为是一个半径无限大的圆）。这也是反演保持广义圆的结果。当然默比乌斯变换并不是将圆映射到圆，将直线映射到直线，经过映射后直线可能变成圆，圆也可能变成直线。复比不变性默比乌斯变换也可以保持复数的复比不变。设有四个两两不同的复数，对应扩充复平面上四个不同的点，它们经过默比乌斯变换后变成四点，那么复比：当中有一个或多个是无穷大时，复比就定义为相应逼近的极限。比如说当四个复数是时，复比就是：确定默比乌斯变换给定平面上三个不同点，存在着唯一的一个默比乌斯变换，使得分别等于。这个默比乌斯变换就是：而由于对于另外的三个不同点，也唯一存在一个默比乌斯变换，使得分别等于。因此，对于任意一组出发点，任意一组到达点，都唯一存在一个默比乌斯变换，将分别映射到点。具体地说，这个变换就是。作为推论，如果一个默比乌斯变换有三个不动点，那么它是恒等变换。矩阵表示播报编辑默比乌斯变换构成的默比乌斯群和由二阶复可逆矩阵所构成的二阶复系数一般线性群有同态的关系。事实上，考虑一个二阶的可逆矩阵：，其中，那么由矩阵的系数可以写出一个默比乌斯变换：而如果考虑映射：则经过计算可以知道，，也就是说：因此是一个群同态。注意对所有的复数，，所以变换。因此，可以将起始空间由一般线性群缩小到特殊线性群。而由于有且仅有单位矩阵和负单位矩阵在群同态下对应的默比乌斯变换是恒等变换，所以的核是。根据群同态基本定理，有以下群同构关系：其中为复平面上的射影特殊线性群。合并图册(2张)新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

默比乌斯函数_百度百科

函数_百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心收藏查看我的收藏0有用+10默比乌斯函数播报讨论上传视频数学术语本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。默比乌斯函数，也称为莫比乌斯函数、缪比乌斯函数，数论函数，由德国数学家和天文学家默比乌斯(August Ferdinand Möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)作为莫比乌斯函数的记号，故也被称为梅滕斯函数。默比乌斯函数在数论中有着广泛应用。中文名默比乌斯函数外文名Mo&4&bius function领域数理科学别名莫比乌斯函数；缪比乌斯函数目录1定义2性质▪性质1▪性质23与其他函数的关系▪1.梅滕斯函数▪2.生成函数▪3.无穷级函数4相关知识定义播报编辑默比乌斯函数或缪比乌斯函数是指以下的函数 [1]：若；若无平方数因数，且；若有大于的平方数因数。μ(n)的首25个值（OEIS中的数列A008683）：1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1, 1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, −1, 0, 0, ...图1.μ的首50个值μ(n) ——默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目。莫比乌斯函数完整定义的通俗表达：1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N；2）μ(1)=1；3）当n存在平方因子时，μ(n)=0；4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1；5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1。性质播报编辑性质1莫比乌斯函数是一个数论函数，它是一个积性函数。证明：①当 n=1时显然；②当n 0时，将n分解可以得到；在n的所有因子中，值不为零的只有所有质因子次数都为1的因子，其中质因数个数为r个的因子有个那么显然有：性质2对任意正整数n有：证明：只需要令，代入莫比乌斯反演的公式即可与其他函数的关系播报编辑1.梅滕斯函数莫比乌斯函数的求和函数，被称为梅滕斯函数，2.生成函数莫比乌斯函数有多个生成函数，其中一个与黎曼的ζ(s)有关：3.无穷级函数以下是关于莫比乌斯函数的一些无穷级数 [2]：1）2）3）相关知识播报编辑1.默比乌斯变换；2.梅滕斯函数；3.默比乌斯反演。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

莫比乌斯反演 - OI Wiki

反演 - OI Wiki 跳转至 OI Wiki 莫比乌斯反演正在初始化搜索引擎 OI-wiki/OI-wiki 简介比赛相关工具软件语言基础算法基础搜索动态规划字符串数学数据结构图论计算几何杂项专题关于 Hulu OI Wiki OI-wiki/OI-wiki 简介简介 Getting Started 关于本项目如何参与 OI Wiki 不是什么格式手册数学符号表 F.A.Q. 用 Docker 部署 OI Wiki 镜像站列表致谢比赛相关比赛相关比赛相关简介赛事赛事 OI 赛事与赛制 ICPC/CCPC 赛事与赛制题型题型题型概述交互题学习路线学习资源技巧技巧读入、输出优化分段打表常见错误常见技巧出题工具软件工具软件工具软件简介代码编辑工具代码编辑工具 Vim Emacs VS Code Atom Eclipse Notepad++ Kate Dev-C++ CLion Geany Xcode GUIDE Sublime Text CP Editor 评测工具评测工具评测工具简介 Arbiter Cena CCR Plus Lemon 命令行编译器 WSL (Windows 10) Special Judge Testlib Testlib Testlib 简介通用 Generator Validator Interactor Checker Polygon OJ 工具 LaTeX 入门 Git 语言基础语言基础语言基础简介 C++ 基础 C++ 基础 Hello, World! C++ 语法基础变量运算流程控制语句流程控制语句分支循环高级数据类型高级数据类型数组结构体联合体指针函数文件操作 C++ 标准库 C++ 标准库 C++ 标准库简介 STL 容器 STL 容器 STL 容器简介迭代器序列式容器关联式容器无序关联式容器容器适配器 STL 算法 bitset string pair C++ 进阶 C++ 进阶类命名空间值类别重载运算符引用常值新版 C++ 特性 Lambda 表达式 pb_ds pb_ds pb_ds 简介堆平衡树编译优化 C++ 与其他常用语言的区别 Pascal 转 C++ 急救 Python 速成 Java 速成 Java 进阶算法基础算法基础算法基础简介复杂度枚举模拟递归 & 分治贪心排序排序排序简介选择排序冒泡排序插入排序计数排序基数排序快速排序归并排序堆排序桶排序希尔排序锦标赛排序 tim排序排序相关 STL 排序应用前缀和 & 差分二分倍增构造搜索搜索搜索部分简介 DFS（搜索） BFS（搜索）双向搜索启发式搜索 A* 迭代加深搜索 IDA* 回溯法 Dancing Links Alpha-Beta 剪枝优化动态规划动态规划动态规划部分简介动态规划基础记忆化搜索背包 DP 区间 DP DAG 上的 DP 树形 DP 状压 DP 数位 DP 插头 DP 计数 DP 动态 DP 概率 DP DP 优化 DP 优化单调队列/单调栈优化斜率优化四边形不等式优化状态设计优化其它 DP 方法字符串字符串字符串部分简介字符串基础标准库字符串匹配字符串哈希字典树 (Trie) 前缀函数与 KMP 算法 Boyer–Moore 算法 Z 函数（扩展 KMP）自动机 AC 自动机后缀数组 (SA) 后缀数组 (SA) 后缀数组简介最优原地后缀排序算法后缀自动机 (SAM) 后缀平衡树广义后缀自动机后缀树 Manacher 回文树序列自动机最小表示法 Lyndon 分解 Main–Lorentz 算法数学数学数学部分简介符号进位制位运算二进制集合操作平衡三进制高精度计算快速幂置换和排列弧度制与坐标系复数数论数论数论基础素数最大公约数数论分块欧拉函数筛法 Meissel–Lehmer 算法分解质因数裴蜀定理类欧几里德算法欧拉定理 & 费马小定理乘法逆元线性同余方程中国剩余定理升幂引理威尔逊定理卢卡斯定理同余方程二次剩余原根离散对数剩余莫比乌斯反演莫比乌斯反演目录引入莫比乌斯函数定义性质证明补充结论线性筛拓展莫比乌斯变换证明问题形式「HAOI 2011」Problem b 「SPOJ 5971」LCMSUM 「BZOJ 2154」Crash 的数字表格「SDOI2015」约数个数和莫比乌斯反演扩展参考文献杜教筛 Powerful Number 筛 Min_25 筛洲阁筛连分数 Stern–Brocot 树与 Farey 序列二次域循环连分数 Pell 方程多项式与生成函数多项式与生成函数多项式与生成函数简介代数基本定理快速傅里叶变换快速数论变换快速沃尔什变换 Chirp Z 变换多项式牛顿迭代多项式多点求值|快速插值多项式初等函数常系数齐次线性递推多项式平移|连续点值平移符号化方法普通生成函数指数生成函数狄利克雷生成函数组合数学组合数学排列组合抽屉原理容斥原理康托展开斐波那契数列错位排列卡特兰数斯特林数贝尔数伯努利数 Entringer Number Eulerian Number 分拆数范德蒙德卷积图论计数线性代数线性代数线性代数简介向量内积和外积矩阵初等变换行列式线性空间线性基线性映射特征多项式对角化 Jordan标准型线性规划线性规划线性规划简介单纯形算法群论群论群论简介置换群概率论概率论基本概念条件概率与独立性随机变量随机变量的数字特征概率不等式博弈论博弈论博弈论简介公平组合游戏非公平组合游戏反常游戏数值算法数值算法插值数值积分高斯消元牛顿迭代法傅里叶-莫茨金消元法序理论杨氏矩阵 Schreier–Sims 算法 Berlekamp–Massey 算法数据结构数据结构数据结构部分简介栈队列链表哈希表并查集并查集并查集并查集复杂度堆堆堆简介二叉堆配对堆左偏树块状数据结构块状数据结构分块思想块状数组块状链表树分块 Sqrt Tree 单调栈单调队列 ST 表树状数组线段树李超线段树区间最值操作 & 区间历史最值划分树二叉搜索树 & 平衡树二叉搜索树 & 平衡树二叉搜索树 & 平衡树 Treap Splay 树 WBLT Size Balanced Tree AVL 树 B 树 B+ 树替罪羊树 Leafy Tree 笛卡尔树红黑树左偏红黑树 AA 树 2-3 树 2-3-4 树跳表可持久化数据结构可持久化数据结构可持久化数据结构简介可持久化线段树可持久化块状数组可持久化平衡树可持久化字典树可持久化可并堆树套树树套树线段树套线段树平衡树套线段树线段树套平衡树树状数组套权值线段树分块套树状数组 K-D Tree 动态树动态树 Link Cut Tree 全局平衡二叉树 Euler Tour Tree Top Tree 析合树 PQ 树手指树霍夫曼树图论图论图论部分简介图论相关概念图的存储 DFS（图论） BFS（图论）树上问题树上问题树基础树的直径最近公共祖先树的重心树链剖分树上启发式合并虚树树分治动态树分治 AHU 算法树哈希树上随机游走矩阵树定理有向无环图拓扑排序最小生成树斯坦纳树最小树形图最小直径生成树最短路拆点差分约束 k 短路同余最短路连通性相关连通性相关强连通分量双连通分量割点和桥圆方树点/边连通度环计数问题 2-SAT 欧拉图哈密顿图二分图最小环平面图图的着色网络流网络流网络流简介最大流最小割费用流上下界网络流 Stoer–Wagner 算法图的匹配图的匹配图匹配增广路二分图最大匹配二分图最大权匹配一般图最大匹配一般图最大权匹配 Prüfer 序列 LGV 引理弦图最大团搜索算法支配树图上随机游走计算几何计算几何计算几何部分简介二维计算几何基础三维计算几何基础距离 Pick 定理三角剖分凸包扫描线旋转卡壳半平面交平面最近点对随机增量法反演变换计算几何杂项杂项杂项杂项简介离散化双指针离线算法离线算法离线算法简介 CDQ 分治整体二分莫队算法莫队算法莫队算法简介普通莫队算法带修改莫队树上莫队回滚莫队二维莫队莫队二次离线莫队配合 bitset 分数规划随机化随机化随机函数随机化技巧爬山算法模拟退火悬线法计算理论基础字节顺序约瑟夫问题格雷码表达式求值在一台机器上规划任务主元素问题 Garsia–Wachs 算法 15-puzzle Kahan 求和珂朵莉树/颜色段均摊专题专题 RMQ 并查集应用括号序列线段树与离线询问关于 Hulu 关于 Hulu 关于 Hulu 目录引入莫比乌斯函数定义性质证明补充结论线性筛拓展莫比乌斯变换证明问题形式「HAOI 2011」Problem b 「SPOJ 5971」LCMSUM 「BZOJ 2154」Crash 的数字表格「SDOI2015」约数个数和莫比乌斯反演扩展参考文献莫比乌斯反演引入莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数，如果很难直接求出它的值，而容易求出其倍数和或约数和，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得的值。开始学习莫比乌斯反演前，需要先学习一些前置知识：数论分块、狄利克雷卷积。莫比乌斯函数定义为莫比乌斯函数，定义为含有平方因子为的本质不同质因子个数详细解释一下：令，其中为质因子，。上述定义表示：时，；对于时：当存在，使得时，，也就是说只要某个质因子出现的次数超过一次，就等于；当任意，都有时，，也就是说每个质因子都仅仅只出现过一次时，即，中个元素唯一时，等于的次幂，此处指的便是仅仅只出现过一次的质因子的总个数。性质莫比乌斯函数不仅是积性函数，还有如下性质：即，证明设那么根据二项式定理，易知该式子的值在即时值为否则为，这也同时证明了以及注这个性质意味着，莫比乌斯函数在狄利克雷生成函数中，等价于黎曼函数的倒数。所以在狄利克雷卷积中，莫比乌斯函数是常数函数的逆元。补充结论反演结论：直接推导：如果看懂了上一个结论，这个结论稍加思考便可以推出：如果的话，那么代表着我们按上个结论中枚举的那个是，也就是式子的值是，反之，有一个与相同的值：利用函数：根据上一结论，，将展开即可。线性筛由于函数为积性函数，因此可以线性筛莫比乌斯函数（线性筛基本可以求所有的积性函数，尽管方法不尽相同）。线性筛实现 C++Python 1

14void getMu() {

mu[1] = 1;

for (int i = 2; i <= n; ++i) {

if (!flg[i]) p[++tot] = i, mu[i] = -1;

for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= n; ++j) {

flg[i * p[j]] = 1;

if (i % p[j] == 0) {

mu[i * p[j]] = 0;

break;

}

mu[i * p[j]] = -mu[i];

}

13def getMu():

mu[1] = 1

for i in range(2, n + 1):

if flg[i] != 0:

p[tot] = i; tot = tot + 1; mu[i] = -1

j = 1

while j <= tot and i * p[j] <= n:

flg[i * p[j]] = 1

if i % p[j] == 0:

mu[i * p[j]] = 0

break

mu[i * p[j]] = mu[i * p[j]] - mu[i]

j = j + 1

拓展证明将分解质因数：首先，因为是积性函数，故只要证明当时成立即可。因为是质数，于是易知如下过程：该式子两侧同时卷可得莫比乌斯变换设为两个数论函数。形式一：如果有，那么有。这种形式下，数论函数称为数论函数的莫比乌斯变换，数论函数称为数论函数的莫比乌斯逆变换（反演）。容易看出，数论函数的莫比乌斯变换，就是将数论函数与常数函数进行狄利克雷卷积。注根据狄利克雷卷积与狄利克雷生成函数的对应关系，数论函数的莫比乌斯变换对应的狄利克雷生成函数，就是数论函数的狄利克雷生成函数与黎曼函数的乘积。形式二：如果有，那么有。证明方法一：对原式做数论变换。用来替换，再变换求和顺序。最后一步变换的依据：，因此在时第二个和式的值才为。此时，故原式等价于方法二：运用卷积。原问题为：已知，证明易知如下转化：（其中）。对于第二种形式：类似上面的方法一，我们考虑逆推这个式子。我们把表示为的形式，然后把的原定义代入式子。发现枚举再枚举的倍数可以转换为直接枚举的倍数再求出，发现后面那一块其实就是 , 整个式子只有在的时候才能取到值。问题形式「HAOI 2011」Problem b求值（多组数据）根据容斥原理，原式可以分成块来处理，每一块的式子都为考虑化简该式子因为时对答案才用贡献，于是我们可以将其替换为（当且仅当时值为否则为），故原式化为将函数展开得到变换求和顺序，先枚举可得易知中的倍数有个，故原式化为很显然，式子可以数论分块求解。时间复杂度代码实现 1

52#include <algorithm>

#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 50000;

int mu[N + 5], p[N + 5];

bool flg[N + 5];

void init() {

int tot = 0;

mu[1] = 1;

for (int i = 2; i <= N; ++i) {

if (!flg[i]) {

p[++tot] = i;

mu[i] = -1;

}

for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= N; ++j) {

flg[i * p[j]] = 1;

if (i % p[j] == 0) {

mu[i * p[j]] = 0;

break;

}

mu[i * p[j]] = -mu[i];

}

for (int i = 1; i <= N; ++i) mu[i] += mu[i - 1];

}

int solve(int n, int m) {

int res = 0;

for (int i = 1, j; i <= min(n, m); i = j + 1) {

j = min(n / (n / i), m / (m / i));

res += (mu[j] - mu[i - 1]) * (n / i) * (m / i); // 代推出来的式子

}

return res;

}

int main() {

int T, a, b, c, d, k;

init(); // 预处理mu数组

scanf("%d", &T);

for (int i = 1; i <= T; i++) {

scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);

// 根据容斥原理，1<=x<=b&&1<=y<=d范围中的答案数减去1<=x<=b&&1<=y<=c-1范围中的答案数和

// 1<=x<=a-1&&1<=y<=d范围中的答案数再加上1<=x<=a-1&&1<=y<=c-1范围中的答案数

// 即可得到a<=x<=b&&c<=y<=d范围中的答案数

// 这一步如果不懂可以画坐标图进行理解

printf("%d\n", solve(b / k, d / k) - solve(b / k, (c - 1) / k) -

solve((a - 1) / k, d / k) +

solve((a - 1) / k, (c - 1) / k));

}

return 0;

}

「SPOJ 5971」LCMSUM求值（多组数据）易得原式即将原式复制一份并且颠倒顺序，然后将 n 一项单独提出，可得根据，可将原式化为两个求和式中分母相同的项可以合并。即可以将相同的合并在一起计算，故只需要统计的个数。当时，，所以的个数有个。故答案为变换求和顺序，设，合并公因式，式子化为设，已知为积性函数，于是可以筛出。每次询问计算即可。下面给出这个函数筛法的推导过程：首先考虑的值，显然它的约数只有，因此又有，则原式可化为于是有那么，对于线性筛中的，令，可得即同理有因此时间复杂度：代码实现 1

35#include <cstdio>

const int N = 1000000;

int tot, p[N + 5];

long long g[N + 5];

bool flg[N + 5]; // 标记数组

void solve() {

g[1] = 1;

for (int i = 2; i <= N; ++i) {

if (!flg[i]) {

p[++tot] = i;

g[i] = (long long)1 * i * (i - 1) + 1;

}

for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= N; ++j) {

flg[i * p[j]] = 1;

if (i % p[j] == 0) {

g[i * p[j]] =

g[i] + (g[i] - g[i / p[j]]) * p[j] * p[j]; // 代入推出来的式子

break;

}

g[i * p[j]] = g[i] * g[p[j]];

}

int main() {

int T, n;

solve(); // 预处理g数组

scanf("%d", &T);

for (int i = 1; i <= T; ++i) {

scanf("%d", &n);

printf("%lld\n", (g[n] + 1) * n / 2);

}

return 0;

}

「BZOJ 2154」Crash 的数字表格求值（对取模）易知原式等价于枚举最大公因数，显然两个数除以得到的数互质非常经典的式子的化法后半段式子中，出现了互质数对之积的和，为了让式子更简洁就把它拿出来单独计算。于是我们记接下来对进行化简。首先枚举约数，并将表示为设，，显然式子可以变为观察上式，前半段可以预处理前缀和；后半段又是一个范围内数对之和，记可以求解至此我们可以数论分块求解函数。在求出后，回到定义的地方，可得原式为可见这又是一个可以数论分块求解的式子！本题除了推式子比较复杂、代码细节较多之外，是一道很好的莫比乌斯反演练习题！（上述过程中，默认）时间复杂度：（瓶颈为线性筛）代码实现 1

64#include <algorithm>

#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1e7;

const int mod = 20101009;

int n, m, mu[N + 5], p[N / 10 + 5], sum[N + 5];

bool flg[N + 5];

int Sum(int x, int y) {

return ((long long)1 * x * (x + 1) / 2 % mod) *

((long long)1 * y * (y + 1) / 2 % mod) % mod;

}

int func(int x, int y) {

int res = 0;

int j;

for (int i = 1; i <= min(x, y); i = j + 1) {

j = min(x / (x / i), y / (y / i));

res = (res + (long long)1 * (sum[j] - sum[i - 1] + mod) *

Sum(x / i, y / i) % mod) %

mod; //+mod防负数

}

return res;

}

int solve(int x, int y) {

int res = 0;

int j;

for (int i = 1; i <= min(x, y); i = j + 1) { // 整除分块处理

j = min(x / (x / i), y / (y / i));

res = (res + (long long)1 * (j - i + 1) * (i + j) / 2 % mod *

func(x / i, y / i) % mod) %

mod; // ！每步取模防爆

}

return res;

}

void init() { // 线性筛

mu[1] = 1;

int tot = 0, k = min(n, m);

for (int i = 2; i <= k; ++i) {

if (!flg[i]) {

p[++tot] = i;

mu[i] = -1;

}

for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= k; ++j) {

flg[i * p[j]] = 1;

if (i % p[j] == 0) {

mu[i * p[j]] = 0;

break;

}

mu[i * p[j]] = -mu[i];

}

for (int i = 1; i <= k; ++i)

sum[i] = (sum[i - 1] + (long long)1 * i * i % mod * (mu[i] + mod)) % mod;

}

int main() {

scanf("%d%d", &n, &m);

init();

printf("%d\n", solve(n, m));

}

「SDOI2015」约数个数和多组数据，求其中，表示的约数个数要推这道题首先要了解函数的一个特殊性质再化一下这个式子将上述式子代回原式那么预处理的前缀和，分块处理询问，总复杂度 .代码实现 1

48#include <algorithm>

#include <cstdio>

using namespace std;

const long long N = 5e4 + 5;

long long n, m, T, pr[N], mu[N], d[N], t[N],

cnt; // t 表示 i 的最小质因子出现的次数

bool bp[N];

void prime_work(long long k) {

bp[0] = bp[1] = 1, mu[1] = 1, d[1] = 1;

for (long long i = 2; i <= k; i++) { // 线性筛

if (!bp[i]) pr[++cnt] = i, mu[i] = -1, d[i] = 2, t[i] = 1;

for (long long j = 1; j <= cnt && i * pr[j] <= k; j++) {

bp[i * pr[j]] = 1;

if (i % pr[j] == 0) {

mu[i * pr[j]] = 0;

d[i * pr[j]] = d[i] / (t[i] + 1) * (t[i] + 2);

t[i * pr[j]] = t[i] + 1;

break;

} else {

mu[i * pr[j]] = -mu[i];

d[i * pr[j]] = d[i] << 1;

t[i * pr[j]] = 1;

}

for (long long i = 2; i <= k; i++)

mu[i] += mu[i - 1], d[i] += d[i - 1]; // 求前缀和

}

long long solve() {

long long res = 0, mxi = min(n, m);

for (long long i = 1, j; i <= mxi; i = j + 1) { // 整除分块

j = min(n / (n / i), m / (m / i));

res += d[n / i] * d[m / i] * (mu[j] - mu[i - 1]);

}

return res;

}

int main() {

scanf("%lld", &T);

prime_work(50000); // 预处理

while (T--) {

scanf("%lld%lld", &n, &m);

printf("%lld\n", solve());

}

return 0;

}

莫比乌斯反演扩展结尾补充一个莫比乌斯反演的非卷积形式。对于数论函数和完全积性函数且：我们证明一下【先枚举乘积】【对答案的贡献为，于是省略】【是完全积性函数】【】【当且仅当时】参考文献algocode 算法博客本页面最近更新：2023/10/4 21:50:08，更新历史发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！本页面贡献者：ranwen, StudyingFather, 383494, H-J-Granger, hyp1231, iamtwz, Marcythm, Peanut-Tang, countercurrent-time, CyaceQuious, dkz051, Early0v0, Enter-tainer, ezoixx130, FFjet, frank-xjh, GekkaSaori, Gesrua, Great-designer, guodong2005, hehelego, Henry-ZHR, hjsjhn, hydingsy, i-yyi, Ir1d, kenlig, ksyx, Lcyanstars, Luckyblock233, luojiny1, MegaOwIer, Menci, mgt, mxr612, NachtgeistW, nalemy, orzAtalod, ouuan, qwqAutomaton, SamZhangQingChuan, ShaoChenHeng, shawlleyw, Siyuanwww, Sshwy, sshwy, SukkaW, Tiphereth-A, UserUnauthorized, Vxlimo, WineChord, Xeonacid, yjl9903本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用Copyright © 2016 - 2024 OI Wiki Team Made with Material for MkDocs 最近更新：7ff011ae, 2024-03-

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Möbius反转与Möbius变换：指标变换的艺术 - 知乎

Möbius反转与Möbius变换：指标变换的艺术 - 知乎首发于若荠篇切换模式写文章登录/注册Möbius反转与Möbius变换：指标变换的艺术rapturous文章合集请见专栏《若荠篇》的置顶文章《若荠篇索引》。在学习初等数论、解析数论的时候，我们常常需要处理有限指标求和的变换问题，而在Möbius反转与Möbius变换的过程中，我们可以见到很多的指标变换，并欣赏到其中的魅力，这篇小文就旨在和读者一起以Möbius反转与Möbius变换等数论问题为例，一同细细分析领略指标变换的艺术。最简单的情况：平凡的变换最简单，最平凡的有限指标求和变换问题莫过于对完全独立的变量进行考虑了：若我们要处理有限指标的二重求和： \sum_{\{a|P(a)\}}f(a)\sum_{\{b|Q(b)\}}g(b)\\ 其中的有限指标集 a,b 满足的条件是完全独立的，也就是说 \{a|P(a)\},\{b|Q(b)\} 相互毫无关系，毫不影响，此时整个求和可以视作一体，运用乘法的交换律可知，我们可以自由地交换顺序，且并不改变求和下标： \sum_{\{a|P(a)\}}f(a)\sum_{\{b|Q(b)\}}g(b)=\sum_{\{b|Q(b)\}}g(b)\sum_{\{a|P(a)\}}f(a)\\ 当然，这样的平凡情况未免有些乏味，体现不出我们所期待的精妙的艺术性。接下来我们考虑不平凡的情况。例子：积性函数的卷积不平凡但仍然简单的一种情况我们接下来考虑一种并不平凡，但其实很简单的情况，其不涉及换序问题，而仅是对下标进行简单变换： \sum_{d|n}f(n)=\sum_{d|n}f\left(\frac{n}{d}\right)\\ 这一式子对任意的数论函数 f(n) 均成立。我们在这里说的数论函数指的是广义的数论函数，即仅要求函数定义在正整数集上，这是有区别于狭义的数论函数，即正整数集到正整数集的映射。容易看出，这样的广义数论函数其实就是所谓的“序列/数列”。上面的式子确实是明显的！因为我们有整除的对称性：在整除 n 的正整数 d 从 1 到 n ，由小到大地绕过一圈时，与 d 一一对应的相应的 \frac{n}{d} 也从 n 到 1 ，由大到小地绕过一圈。实际上，由此可知，我们有更细致的描述： \sum_{d|n}f(d)=\sum_{\frac{n}{d}|n}f(d)=\sum_{d|n}f\left(\frac{n}{d}\right)\\ 确实通俗易懂。积性函数我们稍微宕开一笔，定义在研究数论函数中最常用到的函数类之一：积性函数。积性函数指的是当 (a,b)=1 时，有 f(ab)=f(a)f(b)\\ 成立的数论函数。由此看出，若我们对正整数 n 有标准分解式 n=p_1^{r_1}\cdots p_s^{r_s} 的话，则有： f(n)=f(p_1^{r_1})\cdots f(p_s^{r_s})\\ 成立，也就是说当 f(n) 在素数幂上的取值确定之后， f(n) 也随之得以确定。容易验证，两个积性函数的乘积仍为积性函数。按照定义证明这一事实是极为容易的，想必对读者而言并不算难。此外，容易看出，对非常数的积性函数 f(n) 而言，必然有 f(1)=1. 完全积性函数完全积性函数是比积性函数具有更强性质的数论函数：在积性函数定义中去掉 a,b 互素的条件就得到了完全积性函数的定义。更具体地说，对任意的正整数 a,b ，满足 f(ab)=f(a)f(b)\\ 的数论函数称为积性函数。类似地，给定标准分解式后，我们有： f(n)=f(p_1)^{r_1}\cdots f(p_s)^{r_s}\\ 也就是说 f(n) 由其在素数上的取值唯一决定，而并不是像普通的积性函数那样，还要繁琐地确定素数幂上的取值。容易验证，两个完全积性函数的乘积仍为完全积性函数。按照定义证明这一事实是极为容易的，想必对读者而言并不算难。积性函数的卷积回到主题，现在我们定义积性函数 g(n),h(n) 的卷积： (g*h)(n):=f(n):=\sum_{d|n}g(d)h\left(\frac{h}{d}\right)=\sum_{d|n}g\left(\frac{n}{d}\right)h(d)\\ 第一小节告诉我们，最后两项是完全等价的。也就是说，积性函数的卷积可以由这两种方式等价刻画。这一点与通常函数的连续卷积类似。连续卷积的形式是： (f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)g(x-y)\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)\mathrm{d}y\\ 只不过，这里的连续卷积的两种形式的等价性源于 \mathbb{R}^n 上函数变量替换的良好性质（定义域是整个实空间），而数论函数的离散卷积的形式等价性源于整除因子的遍历性。不平凡的结论：积性函数的卷积仍为积性函数积性函数的卷积仍为积性函数，这一结论就不是平凡的了，我们通过指标变换来证明它。设 a,b 互素，考虑 f(ab)=\sum_{d|ab}g(d)h\left(\frac{ab}{d}\right)\\ 我们希望可以证明 f(ab)=f(a)f(b). 指标变换：将d也分开！上面的关于 f(ab) 的表达式中，可以被 d 整除的数是两个互素的整数 a,b 的乘积，我们的想法是将 d 也自然地分成与之相关的两部分，分别进行处理。为实现此，我们令 d=uv ，这里 u:=(a,d),v:=(b,d). 这样的定义是合理的，因为我们有： uv=(a,d)(b,d)=(ab,d)=d\\ 此外， u,v 作为一对互素的正整数 a,b 的因子，其应该也是互素的，这一点可以通过做正整数的标准素因子分解看到；类似地， \frac{a}{u},\frac{b}{v} 也是互素的。所以我们现在可以将指标分开： f(ab)=\sum_{u|a,v|b}g(uv)h\left(\frac{ab}{uv}\right)=\sum_{u|a}\sum_{v|b}g(uv)h\left(\frac{ab}{uv}\right)\\ 由于 g(n),h(n) 已知是积性函数，所以上式还可以进一步分开为形式： \sum_{u|a}\sum_{v|b}g(u)g(v)h\left(\frac{a}{u}\right)h\left(\frac{b}{v}\right)\\ 细心的读者可能已经发现了：这不正好就是最简单的平凡情况吗！确实如此。现在我们的 a,b 是互素的，所以自然可以认为是独立的、毫无关系的，进而 u,v 也是毫无关系的，所以上式就等于： f(ab)=\sum_{u|a}g(u)h\left(\frac{a}{u}\right)\sum_{v|b}g(v)h\left(\frac{b}{v}\right)=f(a)f(b)\\ 这就证明了结论。这一证明中指标变换的思想是相当好理解的：既然 a,b 相互独立而我们却是在 d|ab 的范围内考虑问题，那么自然的想法就是将 d 也拆分为乘积 uv ，其中 u,v 分别仅与 a,b 相关，进而是独立的。Möbius函数：基本性质Möbius函数的定义研究数论函数离不开Möbius函数，我们先来介绍它的定义： \mu(n):=\begin{cases} 1&n=1\\(-1)^r& \text{ 若 } n \text{ 是 } r \text{ 个不同素数的乘积 }\\0& \text{ 若 } n \text{ 被某个素数的平方整除} \end{cases}\\ 在某种意义上，Möbius函数起到了“示性”的作用。积性函数，但不是完全积性函数Möbius函数是积性函数，但不是完全积性函数。验证非常容易（只不过在验证积性函数时需要稍作分类讨论），我们在此略去。积性函数的卷积应用到Möbius上对任意非零积性函数 f(n) ，将刚刚研究过的积性函数的卷积的结论应用于 g(n):=f(n)\mu(n),h(n)\equiv1\\ 上，就得到了新的函数： \sum_{d|n}\mu(d)f(d)\\ 这也是一个积性函数。因此，这个新函数由其在素数幂上的取值所唯一决定。特别地，由于有因子Möbius函数 \mu(d) 的存在，该积性函数仅可能在 p 上取不为零的值，而在 p^r,r>1 上恒为零。因此，我们有如下的指标分拆： \sum_{d|n}\mu(d)f(d)=1-\prod_{p|n}f(p)+\prod_{p_1p_2|n\atop p_1\neq p_2}f(p_1)f(p_2)-\cdots+(-1)^sf(p_1)\cdots f(p_s)\\ 这里的第一项是因为积性函数在 1 处的取值必然为 1. 注意到右式可以因式分解为： \prod_{d|n}(1-f(p))\\ 也就是说，我们得到了结论： \sum_{d|n}\mu(d)f(d)=\prod_{p|n}(1-f(p))\\ 其中的 p 过 n 的不同素因子。直接推论特别地，取 f(n)\equiv1 ，我们得到了结论： \sum_{d|n}\mu(d)=\Delta(n)\\ 对任意的正整数 n 均成立，这里的函数 \Delta(n) 定义为： \Delta(n):=\begin{cases}1&n=1\\0&n>1\end{cases}\\ 这也是一个重要的积性函数，特别地，这还是一个完全积性函数。此外，这一函数在“示性”方面要比Möbius函数好得多，它更像是实分析中的特征函数 \chi_E ，所以不难理解， \Delta(n) 在处理求和问题中会有大用。譬如，我们有： \sum_{d|n}f(d)\Delta(d)=f(1 )\\ 成立；或者，在卷积中，我们有： \sum_{d|n}f(n)\Delta\left(\frac{n}{d}\right)=f(n)\\ 成立。上述的两个关系式在下文中会经常用到，凑出这种形式的和式也是我们处理很多问题的目标方向。Möbius反转公式渐入佳境，我们现在开始推敲著名的Möbius反转公式，这也是本文的核心主题之一。在Möbius反转公式中我们将会看到指标变换的艺术。Möbius反转公式给定两常数 0<\eta_0\leq\eta_1 ，若对任意的满足 \eta_0\leq\eta\leq\eta_1 的 \eta ，都有 g(\eta)=\sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}f(k\eta)\\ 成立，则我们有反转公式： f(\eta)=\sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)g(k\eta)\\ 成立。此外，该结论的逆也成立。顺带一提，这里的“该结论的逆也成立”，某种意义上反映了Möbius函数 \mu(n) 的“对合性”。第一步指标变换：根据定义根据 g(\eta) 的定义，我们首先给出第一步的指标变换： \sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)g(k\eta)=\sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)\sum_{1\leq m\leq\frac{\eta_1}{k\eta}}f(mk\eta)\\ 这里为避免符号滥用之问题，我们采用了新的求和指标 m. 必须要指出的是，上式右式的两次求和之间不是独立的！第二个求和范围依赖于第一个求和的指标 k ，因此我们不能像在应对平凡情况那样随意地更换两次求和的顺序。实际上这就是我们在考虑数论函数相关的求和问题的难点之一。目标方向我们想要怎么处理问题？前面在介绍Möbius函数的基本性质的时候，给出了公式： \sum_{d|n}\mu(d)=\Delta(n)\\ 也就是说，如果可以单独考虑对 \mu(d) 求和，则事情可能会很方便，这是因为 \Delta(n) 类似于“特征函数”，在示性方面性质很好。但是在这个问题中，我们还并没有创造出可以令 \mu(d) 单独进行求和的条件：这还是因为前面指出的，第二个求和依赖于第一个求和，因此第一个求和的每一项中都包含有第二项求和的成分，所以对于 \mu(d) 而言不是单独的。因此，我们希望能够创造出一个可以单独对 \mu(d) 求和的环境。一个理论上的最简单的实现方式是让 \mu(d) 位于最右边的求和位置，这样一来它虽然可能还会受到前面的求和的影响，但是它本身不再会影响别人，也就是说此时是单独对 \mu(d) 进行求和的。这里我们运用了求和的一个重要思想：求和范围会受到在该求和左边的求和的指标影响，而不会受到该求和右边求和的指标影响；对偶地，求和指标会影响该求和右边的求和的范围，而不会影响该求和左边的求和范围。归根结底，这不过是求和顺序带来的自然结果。在连续版本即重积分中也有类似的对应。譬如，我们时常会遇到类似于这样子的形式的累次积分： \iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{f_1(x)}^{f_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\\ 其中区域 D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,f_1(x)\leq y\leq f_2(y)\}. 当然，这个积分是我信手乱抄的，其具体形式在这里并不重要；重要的是，读者可以借此观察到积分顺序带来的对前后的影响。所以我们现在的目标大致得以确定：希望将 \mu(d) 对应的求和位于最后的位置。现在来考虑具体实现。形式地引入新的量我们知道右边的求和由于范围是 1\leq m\leq\frac{\eta_1}{k\eta} 而受到左边的求和 1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta} 的影响，而我们想要将左边求和的 \mu(k) 移到最右边去，该如何具体实现它？首先，能不能将右边的求和范围中出现的左边的被求和变量 k 消去掉？如果做到了这一点，那么，左右两个求和就“看上去独立多了”。为此，我们形式地引入新的量：令 mk=r ，则有： \sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)\sum_{1\leq m\leq\frac{\eta_1}{k\eta}}f(mk\eta)=\sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)\sum_{1\leq r\leq\frac{\eta_1}{\eta}}f(k\eta)\\下一步：该怎么办乍一看，此时的两个求和指标一个是 k ，一个是 r ，似乎毫无瓜葛，可以随意换序；但是，这里的 r 仅是形式上引入的量！依据定义，它还是与 k 有关系的。那么，怎么办？稍弱一点：有约束条件的换序自由换序看来还是有些强人所难，不太可能做到；那么，对数学壬而言，脑海里很容易产生这样的想法：既然不能“自由地”换序，那么，减弱一些条件，进行“不那么自由地”换序，则何如？这确实是可以理论上可行的方法！实际上，对有限的求和来说，我们总可以不厌其烦地给求和一点一点地加上各种各样的限制条件，使得求和顺序可以改变；不过一般而言这也是理论上的办法，一般情形下的合理的限制条件可能相当难找。不过很幸运的是，在这里，我们需要额外添加的限制条件并不复杂：既然 mk=r ，那么，当然就有 k=\frac{r}{m} ，所以，要是换序的话，仅需将 k 添加上这样的限制条件就足够了！也就是说，我们有： \sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)\sum_{1\leq r\leq\frac{\eta_1}{\eta}}f(k\eta)=\sum_{1\leq r\leq\frac{\eta_1}{\eta}}f(r\eta)\sum_{k=\frac{r}{m}\atop1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)\\ 这就完成了有约束条件的换序。进一步的化简：两个约束条件合并成一个接下来要处理的是被添枷戴锁了的项 \sum_{k=\frac{r}{m}\atop1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)\\ 这里出现了对求和指标 k 的两个约束条件，那么，最自然的化简思路是，如何将这两个条件合并成一个？这乍一看也并不容易，但是请读者注意，此时的这一项是位于右边的，是受到左边求和的限制的，因此我们可以考虑利用左边求和范围这一关系式 1\leq r\leq\frac{\eta_1}{\eta} 以完成合并：注意到我们有共同的求和范围 1\leq r,k\leq\frac{\eta_1}{\eta}\\ 所以我们可以借助变量 r 来表示具有相同求和范围的变量 k ；但是用 r 来表示 k 的话，沟通这两个不同变量之间的桥梁又是什么呢？当然是 k 的第二个约束条件 k=\frac{r}{m} 啦！然而，我们已经利用 k,m 定义了 r ，卸磨杀驴，这里再出现的 m 已经是不重要的了，也就是说，第二个约束条件实际上就是 k|r 这一整除关系。进一步地，由于 k,r 的求和范围相同，所以整除性条件 k|r 也可以囊括 1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta} 这第一个约束条件，也就是说有： \sum_{k=\frac{r}{m}\atop1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)=\sum_{k|r}\mu(k)\\ 成立，这样一来，两个约束条件就变成了一个。最后收尾：简单处理这样一来，我们就有 \sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)g(k\eta)=\sum_{1\leq r\leq\frac{\eta_1}{\eta}}f(r\eta)\sum_{k|r}\mu(k)\\\ 成立，此时的结论已经昭然若揭：因为根据前文，我们的主要困难已经被完全解决，剩下的只不过是亦步亦趋罢了： \sum_{k|r}\mu(k)=\Delta(r)\\ 也就是说只有当 r=1 时上面的式子才真正“有贡献”，而此时对于求和式： \sum_{1\leq r\leq\frac{\eta_1}{\eta}}f(r\eta)\\ 而言，“真正的”求和范围 r 只有 r=1 一项，且此时 f(r\eta)=f(\eta) ，因此，我们有 \sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(k)g(k\eta)=\sum_{1\leq r\leq\frac{\eta_1}{\eta}}f(r\eta)\sum_{k|r}\mu(k)=f(\eta)\\\ 成立，这就证明了（Möbius反转公式的前一半）结论。经过了如此漫长的推演过程，指标变换，确实精妙！后一半结论：照猫画虎后一半的结论照猫画虎即可。在此笔者的证明速度将会加快，因为方法确实是一致的。为了证明逆结论，实际上仅需验证 \sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}f(k\eta)=g(\eta)\\ 即可，我们来对上式的左边进行变换。首先还是根据前一半结论将 f 展开，我们有： \sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}f(k\eta)=\sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\sum_{1\leq m\leq\frac{\eta_1}{k\eta}}\mu(m)g(mk\eta)\\ 继续引入新的变量 r=mk ，则上式右边就变成了： \sum_{1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\sum_{1\leq r\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(m)g(r\eta)\\ 将仅含 r 的这一部分提前，上式就变成了： \sum_{1\leq r\leq\frac{\eta_1}{\eta}}g(r\eta)\sum_{mk=r\atop1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(m)\\ 接下来的步骤就更是一模一样，我们有： \sum_{mk=r\atop1\leq k\leq\frac{\eta_1}{\eta}}\mu(m)=\sum_{m|r}\mu(m)=\Delta(r)\\ 也就是说对应于 \sum_{1\leq r\leq \frac{\eta_1}{\eta}}g(r\eta)\\ 而言，求和范围仅有 r=1 且 g(r\eta)=g(\eta) ，因此上式的最终结果为 g(\eta) ，这样一来，我们就验证了结论。Möbius反转公式的推论：另一种形式Möbius反转公式的另一种形式Möbius反转公式的主要内容已经介绍完毕，意犹未尽，我们来介绍Möbius反转公式的一个推论，这实际上是Möbius反转公式的另一种形式。给定 \xi_0\geq1 ，若对任意的满足 1\leq\xi\leq\xi_0 的 \xi 都有： G(\xi)=\sum_{1\leq k\leq\xi}F\left(\frac{\xi}{k}\right)\\ 则有： F(\xi)=\sum_{1\leq k\leq\xi}\mu(k)G\left(\frac{\xi}{k}\right)\\ 且该结论的逆也对。取倒数即可！方法是很容易看出来的，较前面的Möbius反转公式相比，这样的形式好像就是变成了分式形式，我们来取个倒数看看： f(\xi):=F\left(\frac{1}{\xi}\right),g(\xi):=G\left(\frac{1}{\xi}\right)\\ 此时上面的两个关系式就分别变成了： g(\xi)=G\left(\frac{1}{\xi}\right)=\sum_{1\leq k\leq\frac{1}{\xi}}F\left(\frac{1}{k\xi}\right)=\sum_{1\leq k\leq\frac{1}{\xi}}f(k\xi)\\ f(\xi)=F\left(\frac{1}{\xi}\right)=\sum_{1\leq k\leq\frac{1}{\xi}}\mu(k)G\left(\frac{1}{k\xi}\right)=\sum_{1\leq k\leq\frac{1}{\xi}}\mu(k)g(k\xi)\\ 这不就是我们已知的Möbius反转公式嘛！因此这一结论也就这么简单地被证明了。Möbius变换接下来我们研究Möbius变换。请注意，Möbius变换和Möbius反转公式并不是同一个东西，尽管乍一看它们很相似。Möbius变换：定理若对所有的正整数 n 都有 g(n)=\sum_{d|n}f(d)\\ 成立，则有 f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g\left(\frac{n}{d}\right)\\ 成立。且该定理的逆也成立。第一个方向：老生常谈，但是操作过程中有点新的东西Möbius变换的这一定理证明与前面讨论的Möbius反转公式的方法是类似的，在思路上也是老生常谈了。针对第一个方向，我们有： \sum_{d|n}\mu(d)g\left(\frac{n}{d}\right)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{m\left|\frac{n}{d}\right.}f(m)\\ 这一步的变换其实就是按照 g(n) 的定义展开，属于是已知条件的利用。然后我们的逆转 \mu(d) 和 f(m) 的求和顺序。形式上将上式右边的求和移到左边是当然可以的，问题在于上式左边的求和在移到右边后，求和范围 d|n 该作何变化：上式右边移到左边后，此时的 m 就不应该再受到求和指标 d 的任何影响，也就是说，此时的求和范围应该变为简单直接的 m|n 。直观来说，此时 m 的求和范围是“变大了”的。那么，需要仔细考量的 d 的求和范围的变化，直观来说应该得要“变小”。这是自然的！因为在一开始，我们设定的 d 的求和范围是取遍 d|n ，这可以说是最大的了；然而，将 d 对应的求和移到右边后， d 就要不可避免地受到左边求和变量 m 的制约。由于 m\left|\frac{n}{d}\right. 这一关系式实际上等价于 md|n ，对偶地，也等价于 d\left|\frac{n}{m}\right. ，而在这样的对偶下对 d 的求和而言是很合适的，也就是说，这就是最终目标的 d 的求和范围。也就是说，我们有：\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{m\left|\frac{n}{d}\right.}f(m)=\sum_{m|n}f(m)\sum_{d\left|\frac{n}{m}\right.}\mu(d)\\ 成立。这是一个相当对偶的式子！其展示了整除的对偶性，指标变换的艺术性就体现在这样的对偶当中了。解决了最紧要的问题，接下来的事情就是老生常谈了： \sum_{d\left|\frac{n}{m}\right.}\mu(d)=\Delta\left(\frac{n}{m}\right)\\ 也就是说实际上有贡献的部分仅可能当 n=m 时成立。而这一条件对应于求和 \sum_{n|m}f(m)\\ 这种，就仅剩下了项 f(n) ，而这就完成了 \sum_{d|n}\mu(d)g\left(\frac{n}{d}\right)=f(n)\\ 的验证，第一个方向证毕。第二个方向：还是老生常谈，但又有点新东西接下来考虑第二个方向。首先按照定义展开： \sum_{d|n}f(d)=\sum_{d|n}\sum_{m|d}\mu(m)g\left(\frac{d}{m}\right)\\ 然后将这两个连在一起的求和分开，上式就等于： \sum_{m|n}\mu(m)\sum_{d|n\atop m|d}g\left(\frac{d}{m}\right)\\ 这一步并不平凡，其中还是有些新东西在里面的：由于 \mu(m) 与 d 无关，于是我们的想法是将含 m 的求和部分提到前面去，也就是说先考虑 m 再考虑 d ，此时的 d 就具有两个约束条件： d|n,m|d 了，将这两个约束条件写到一块，就得到了上式。接下来就是形式上地引入新变量： \sum_{m|n}\mu(m)\sum_{r\left|\frac{n}{m}\right.}g(r)\\ 并进行换序： \sum_{r|n}g(r)\sum_{m\left|\frac{n}{r}\right.}\mu(m)\\ 所以接下来就仅需考虑 \sum_{r|n}g(r)\\ 在 n=r 这一项的情形，而此时上式等于 g(n) ，结论证毕。Möbius变换：给出定义若 g(n)=\sum_{d|n}f(d)=\sum_{d|n}f\left(\frac{n}{d}\right)\\ 则称 g(n) 为 f(n) 的Möbius变换，而称 f(n) 为 g(n) 的Möbius逆变换。为什么现在才扭扭捏捏地很晚给出定义？因为前面的定理是为了说明定义Möbius变换和逆变换的合理性。尾声：一些例子作为本文的结尾，我们给出一些Möbius变换与逆变换的例子。接下来的箭头 f(n)\rightarrow g(n) 表示 g(n) 是 f(n) 的Möbius变换，而反方向的箭头则代表Möbius逆变换。\mu(n)\rightarrow\Delta(n) 这是因为前面已经证明了结论： \sum_{d|n}\mu(d)=\Delta(n)\\E_\lambda(n)\rightarrow\sigma_\lambda(n) 我们定义积性数论函数 E_\lambda(n),\sigma_\lambda(n) 分别为： E_\lambda(n):=n^\lambda\\\sigma_\lambda(n):=\sum_{d|n}d^\lambda\\ 也就是说，通过定义就可以直接看出这一关系。\Delta(n)\rightarrow E_0(n) 根据定义， E_0(n)=1 恒成立，而 \Delta(n) 只有在 n=1 时有贡献，所以结论成立。\varphi(n)\rightarrow E_1(n) 首先指出 E_1(n)=n 成立，然后，为了验证这一关系，我们有： \begin{split}n&=\sum_{k=1}^n1\\&=\sum_{d|n}\sum_{a=1\atop(a,n)=d}^n1\\&=\sum_{d|n}\sum_{r=1\atop\left(r,\frac{n}{d}\right)=1}^{\frac{n}{d}}1\\&=\sum_{d|n}\varphi\left(\frac{n}{d}\right)\\&=\sum_{d|n}\varphi(d) \end{split}\\ 其中不平凡的地方在于第二步： \sum_{k=1}^n1=\sum_{d|n}\sum_{a=1\atop(a,n)=d}^n1\\ 但这一步也是很容易验证的：上式右边显然恰好遍历所有的 1\leq k\leq n. 由此看出，Euler函数 \varphi(n) 是 E_1(n)=n 的Möbius变换，也就是说， E_1(n)=n 是 \varphi(n) 的Möbius逆变换，也就是说，有关系式： \varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}=n\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\\ 成立。这一结论在数论中有着重要的作用。更一般地，我们可以形式地定义Möbius变换：\varphi_\lambda(n)\rightarrow E_\lambda(n) 即定义新的数论函数 \varphi_\lambda(n) 为 E_\lambda(n) 的Möbius逆变换，根据前文知， \varphi_\lambda(n) 是一个积性函数，其具体表达式为： \varphi_\lambda(n)=n^\lambda\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d^\lambda}=n^\lambda\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^\lambda}\right)\\ 最后一个等式是因为根据 \mu(d) 的定义，知在求和 d|n 的范围内，真正有意义的部分仅可能是 n 的那些素因子分解中出现相同因子的次数小于等于 1 的那些因子。再根据 \mu(d) 的正负性，我们有： \sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d^\lambda}=1-\sum_{p|n}\frac{1}{p^\lambda}+\sum_{p_1p_2|n\atop p_1\neq p_2}\frac{1}{(p_1p_2)^\lambda}-\cdots+(-1)^s\frac{1}{(p_1\cdots p_s)^\lambda}=\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^\lambda}\right)\\\Lambda(n)\rightarrow\log n 我们定义数论函数： \Lambda(n):=\begin{cases}\log p& \text{ 若 } n \text{ 是某个素数 } p \text{ 的正次方 }\\0 & \text{ 其他 } \end{cases}\\ 该函数称为von Mangoldt函数，这并不是一个积性函数。我们现在试着来求von Mangoldt函数的Möbius变换。设 n 的标准分解式为 p_1^{l_1}\cdots p_r^{l_r} ，则有： \begin{split} \sum_{d|n}\Lambda(n)&=\sum_{s_1=0}^{l_1}\cdots\sum_{s_r=0}^{l_r}\Lambda(p_1^{s_1}\cdots p_r^{s_r})\\&=\sum_{s_1=0}^{l_1}\Lambda(p_1^{s_1})+\cdots+\sum_{s_r=0}^{l_r}\Lambda(p_r^{s_r})\\&=\sum_{s_1=0}^{l_1}\log p_1+\cdots+\sum_{s_r=0}^{l_r}\log p_r\\&=l_1\log p_1+\cdots+l_r\log p_r=\log n \end{split}\\ 上式中仅有第二个等号不是显然的：根据von Mangoldt函数的定义，在 \Lambda(p_1^{s_1}\cdots p_r^{s_r}) 中真正有贡献的项只有那些仅含某一个素数的，因此可以分成这样的 r 个部分，每个部分中除去 p_i 对应的求和都无意义，因此上式可以化简为 r 个一重求和的和。因此von Mangoldt函数的Möbius变换为 \log n. -\mu(n)\log n\rightarrow\Lambda(n) 对偶地，von Mangoldt函数是对数函数 \log n 的Möbius逆变换，因此，我们有： \begin{split} \Lambda(n)&=\sum_{d|n}\mu(d)\log\frac{n}{d}\\&=\log n\sum_{d|n}\mu(d)-\sum_{d|n}\mu(d)\log d\\&=-\sum_{d|n}\mu(d)\log d \end{split}\\ 这是因为上面的第一项在 n\neq1 时 \sum\mu(d) 为零，而在 n=1 时 \log n=0. 因此，von Mangoldt函数是 -\mu(n)\log n 的Möbius变换。编辑于 2023-06-16 17:02・IP 属地北京初等数论解析数论数论赞同 10添加评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录若荠篇记录自己的一些学习笔记和

Möbius（剧场版动画《机动战士高达：闪光的哈萨维》片头曲） - 澤野弘之/mpi/Laco/Benjamin - 单曲 - 网易云音乐

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Möbius

剧场版动画《机动战士高达：闪光的哈萨维》片头曲

歌手：澤野弘之 / mpi / Laco / Benjamin

所属专辑：Mobile Suit Gundam Hathaway Original Motion Picture Soundtrack - (动画电影《机动战士高达：闪光的哈萨维》原声带)

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Fury of the Gods6.1The Lost CityMobiusStorylineEditDid you knowEditTriviaJared Leto committed to capturing Michael Morbius' limping state and used crutches even off-camera. This proved to be troublesome for the crew, at times, when the actor reportedly took 45-minute treks to the bathroom. Pushing him in a wheelchair was a loophole solution around these delays.GoofsA doctor (but probably not a Hollywood screenwriter) would know that the palm of one's hand is a very stupid area to cut one's skin for blood; many tendons and muscles run there and are obviously very important for daily activities of life.Quotes[speaking to a thug he's threatening] Dr. Michael Morbius: I... am... Venom![hisses at thug; then visibly brightens and smiles] Dr. Michael Morbius: I'm just kidding! Dr. Michael Morbius, at your service.Crazy creditsA first post credit scene introduces a Vulture from another Universe.ConnectionsFeatured in Geeks + Gamers: Jared Leto Much Better Fit For Morbius Than Joker Morbius Trailer Review (2020)SoundtracksFestive Overture, Op. 96Written by Dmitri Shostakovich (as Dmitrij Shostakovich)Performed by Royal Philharmonic OrchestraCourtesy of Royal Philharmonic Orchestra Ltd.User reviews2.2KReviewReviewFeatured review6/10 Not BadSolid 6. Will be better if they make Rated R but not bad, leto was good.helpful•4521kokokiladzeApr 1, 2022Top picksSign in to rate and Watchlist for personalized recommendationsSign inEverything New on Disney+ in MarchEverything New on Disney+ in MarchFreshen up your Watchlist with the latest roster of streaming movies and TV shows coming to Disney+, featuring old favorites and top-notch newcomers.See the listListFAQ22How long is Morbius?Powered by AlexaIs this movie part of the Marvel Cinematic Universe?Will the movie be available as 4DX?With Morbius having connection to Spiderman, will this movie also have connections to Blade?DetailsEditRelease dateMarch 30, 2022 (Philippines)Country of originUnited StatesOfficial sitesFacebookInstagramLanguagesEnglishSpanishRussianAlso known asМорбіусFilming locationsNorthern Quarter, Manchester, England, UKProduction companiesColumbia PicturesMarvel EntertainmentAvi Arad ProductionsSee more company credits at IMDbProBox officeEditBudget$75,000,000 (estimated)Gross US & Canada$73,865,530Opening weekend US & Canada$39,005,895Apr 3, 2022Gross worldwide$167,460,961See detailed box office info on IMDbProTechnical specsEditRuntime1 hour 44 minutesColorColorSound mixDolby AtmosDolby DigitalAspect ratio2.39 : 1Related newsContribute to this pageSuggest an edit or add missing contentIMDb Answers: Help fill gaps in our dataLearn more about contributingEdit pageMore to exploreListStaff Picks: What to Watch in MarchSee the listListIMDb Staff's 2024 Oscar PredictionsSee our predictionsListHillary's 6 Picks for March and BeyondSee the full listRecently viewedYou have no recently viewed pagesGet the IMDb AppSign in for more accessSign in for more accessGet the IMDb AppHelpSite IndexIMDbProBox Office MojoIMDb DeveloperPress RoomAdvertisingJobsConditions of UsePrivacy PolicyYour Ads Privacy ChoicesIMDb, an Amazon company© 1990-2024 by IMDb.com, Inc.Back to top

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